Álgebra Lineal

Definición / Propiedades / Álgebra de matrices cuadradas: potencias y polinomios de matrices / Matrices escalonadas / Matriz canónica por filas /Equivalencia por filas y operaciones elementales entre filas / Operaciones elementales entre columnas / Matrices elementales / Aplicaciones: Matrices invertibles / Propiedades / Matrices especiales: simétrica, anti simétrica, nilpotente, periódica, idempotente, involutiva, y ortogonal / Determinantes / Definición recursiva del determinante de una matriz empleando permutaciones / Propiedades del determinante / Menores y cofactores / La expansión de Laplace / Determinante de Vandermonde / La adjunta de una matriz cuadrada / Relación entre la adjunta y la inversa de una matriz / Multilinealidad y determinantes / Matrices por bloques.

Definición de sistema de ecuaciones lineales / Matriz de un sistema de ecuaciones / Sistema homogéneo y no homogéneo / Solución particular, solución general / Relación entre las soluciones generales / Sistemas equivalentes / Operaciones elementales entre ecuaciones / Procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones empleando operaciones elementales entre ecuaciones (método de eliminación Gaussiana) / El rango de una matriz / Calculo por medio de operaciones elementales entre fias y determinantes / El rango y tipo de solución: Variables libres / La regla de Cramer para resolver sistemas cuadrados de ecuaciones lineales / La descomposición LU de matrices y su aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Valores y vectores propios / Propiedades / Teorema de Cayley Hamilton / Proceso de Ortogonalizacion de Gram Schmidt / Diagonalización de matrices./ Matrices semejantes / Diagonalización ortogonal de matrices simétricas / Aplicación de sistemas de ecuaciones a problemas de contexto real .

Definición / Propiedades / Combinaciones lineales / Dependencia e independencia lineal de vectores / Propiedades / Subespacios vectoriales. Teorema fundamental (caracterización de un subespacio) / Descripción de los subespacios: Implícita y paramétrica / Conjuntos generadores de espacios / Sistema de generadores / Conjuntos equivalentes. Base y dimensión (espacio vectorial finito) / Teoremas y propiedades / Cambio de base / Operaciones con subespacios : Inclusión. Intersección y suma / Suma directa de subespacios.

VECTORES EN R2: Sistema de coordenadas bidimensional / Operaciones con pares ordenados / Espacio vectorial bidimensional real / Representación geométrica de vectores / Vector de posición / Vector libre / Vectores paralelos / Norma de un vector / Propiedades de la norma / Distancia entre dos puntos / Vector unitario / Vectores ortogonales / Producto escalar . Propiedades / Angulo de inclinación de un vector / Combinación lineal de vectores / Vectores ortogonales / Vectores linealmente dependientes e independientes / Angulo entre dos vectores / Proyección ortogonal / Componente ortogonal de un vector / Bisectriz de un ángulo / Área de un paralelogramo y de un triángulo. LA RECTA EN R2: Definición / Ecuaciones de la recta : vectorial , paramétrica , simétrica , normal , general e interceptos / Distancia de un punto a una recta / Segmento de recta / División de un segmento en una razón dada / Angulo de inclinación de la recta / Pendiente de una recta / Ecuación punto pendiente de una recta / Rectas paralelas y ortogonales / Intersección de rectas / Familia de rectas / Angulo entre dos rectas / Área de un triángulo.

VECTORES EN R3: Sistema de coordenadas tridimensional / Operaciones con ternas ordenadas / Espacio vectorial tridimensional / Vector tridimensional / Operaciones con vectores tridimensionales / Vector de posición / Vector libre / Norma de un vector. Propiedades / Distancia entre dos puntos en R3 / Segmento de recta / Coordenadas del baricentro / combinación lineal de vectores / Dependencia e Independencia lineal de vectores / Vectores fundamentales / Producto escalar de vectores. Propiedades / Vectores paralelos. Puntos coloniales / Proyección ortogonal / Componente ortogonal / Relación entre proyección y componente. Propiedades / Angulo entre dos vectores / Vectores unitarios /Bisectriz de un ángulo / Ángulos, cosenos y números directores de un vector / Producto vectorial. Interpretación geométrica / Triple producto escalar. Interpretación geométrica. Propiedades / Volumen de un tetraedro. LA RECTA EN R3: Definición / Ecuaciones de la recta: vectorial, paramétrica, simétrica, casos especiales / Rectas paralelas y ortogonales / Distancia entre dos rectas paralelas / Distancia mínima entre dos rectas que se cruzan / Angulo entre dos rectas / proyección ortogonal de un punto sobre una recta. EL PLANO: Definición / Ecuaciones del plano : vectorial , paramétrica , normal , general , incompletas / Planos paralelos y ortogonales / Intersección de planos / Ecuación biplanar de la recta / Intersección de un plano y una recta / Familia de planos / Posiciones relativas entre un plano y una recta / Distancia de un punto a un plano / Distancia entre dos planos paralelos / Angulo entre recta y plano / Angulo entre dos planos / Proyección ortogonal de un punto sobre un plano / Proyección ortogonal de una recta sobre un plano .

LA CIRCUNFERENCIA: Definición / Ecuaciones de la circunferencia: ordinaria, general, casos particulares / Ecuación de la recta tangente a una circunferencia / Cuerda de contacto / Familia de circunferencias. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS: Traslación de ejes / Rotación de ejes / Traslación y Rotación de ejes. LA PARÁBOLA: Definición / Elementos / Ecuaciones de la Parábola: vectorial, cartesiana, general / Ecuación de la recta tangente a una parábola / Cuerda de contacto / Recta normal a una parábola / Propiedades de la parábola. LA ELIPSE: Definición / Elementos / Ecuaciones de la elipse: vectorial, cartesiana / Ecuación de la recta tangente a una elipse / Recta normal a una elipse / Propiedades de la elipse. LA HIPÉRBOLA: Definición / Elementos / Asíntotas de una hipérbola / Ecuaciones de la hipérbola: vectorial, cartesiana / Hipérbolas conjugadas / Ecuación de la recta tangente a una hipérbola / Propiedades de la hipérbola.